Numerical simulation of magneto hydrodynamic (MHD)

In this thesis we developed a Fourier pseudo-spectral code coupled with the volume penalization for the simulation of turbulent MHD flows with non-periodic boundary conditions. This method was validated with classical and academic test-cases. Then we studied the influence of the confinement with walls in a 2D configuration for decaying MHD and we found four decaying regimes which depend on the initial conditions. We also discussed the phenomenon of spontaneous rotation, or spin-up, in 2D non-axisymmetric geometries, originally discovered in hydrodynamic flows. We showed the influence of the Reynolds number and the magnetic pressure on this phenomenon. Finally, simulations of MHD flows in wall bounded three-dimensional domains were addressed. The first results concerning the simulation of decaying MHD turbulence in a cylinder imposing Dirichlet boundary conditions for both the velocity and the magnetic field showed the validity of the code and suggest good prospects for developing more physically justified boundary conditions for the magnetic field. (L'auteur).

Sommaire

Sommaire

CONTENTS :
1. General introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
--1.1 Introduction en français . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
--1.2 English introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Pseudo-spectral method applied to MHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
--2.1 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 14
--2.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
--2.3 Governing equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
--2.4 A penalization method for wall-bounded MHD flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
--2.5 Spatial and temporal discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
--2.6 Initial conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
--2.7 Validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
----2.7.1 Small-scale MHD turbulence: Orszag-Tang (1979) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
----2.7.2 Magnetic field distortion: Parker (1963). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
----2.7.3 Z-pinch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
----2.7.4 Convergence test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
--2.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
3. Decaying MHD turbulence in a confined domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
--3.1 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
--3.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
--3.3 Governing equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
--3.4 Initial conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
--3.5 Characterization of the different decay regimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
--3.6 Energy decay and visualizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
--3.7 Final states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
--3.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
4. Rapid generation of angular momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
--4.1 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
--4.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
--4.3 Low Reynolds numbers: Re ~ 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
----4.3.1 Analytical and numerical tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
----4.3.2 Numerical results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
----4.3.3 Summary and discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
--4.4 High Reynolds numbers: up to Re ~ 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
----4.4.1 Initial conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
----4.4.2 Influence of the Reynolds number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
----4.4.3 Influence of the magnetic pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..69
----4.4.4 Dynamics of the flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
----4.4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5. Towards a 3D solver of confined MHD turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
--5.1 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
--5.2 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
--5.3 Validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
----5.3.1 Test-3D Orszag-Tang vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
----5.3.2 Wall-bounded MHD flows: cylindrical geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
--5.4 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6. Conclusion and perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
--6.1 Version française . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
--6.2 English version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

Appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
A. Plasma edge-tokamak turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
--A.1 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
--A.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
--A.3 Theoretical model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
--A.4 Validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
--A.5 Lagrangian transport in tokamaks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
--A.6 Lagrangian dynamics of the Hasegawa-Wakatani model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
--A.7 Eulerian results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
--A.8 Lagrangian results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
----A.8.1 Trajectories and single particle dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
----A.8.2 PDFs of time increments : a note on the definition of Lagrangian inter- mittency ... 111
----A.8.3 Lagrangian structure functions: a note on the use of Extended Self-Similarity (ESS) ... 114
----A.8.4 Time-auto-correlations: a note on long-time correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
----A.8.5 Discussion: a note on intermittency models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
--A.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
--A.10 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
B. Evolution equation of the kinetic angular momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
C. Evolution equation of the magnetic angular momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
D. The parallel component of the magnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

BIBLIOGRAPHY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132